Guía de Repaso - La economìa y las herramientas Matemáticas

La economía y las herramientas matemáticas 

La economía como ciencia pretende explicar y predecir fenómenos económicos. Para ello se vale de modelos que son representaciones simplificadas de la realidad. La simplificación o abstracción nos permite focalizar los problemas y aumentar nuestra comprensión. Para ello habitualmente utilizamos categorías y un lenguaje propio donde se utilizan herramientas matemáticas y lógicas. Las propiedades matemáticas y la deducción lógica a veces nos permite llegar a relaciones a priori impensadas Por ejemplo en un mercado tal vez la variación del precio de un insumo y el de un bien relacionado puedan dejar inalterado el precio pero hagan aumentar la cantidad transada. Además de estas categorías o variables lo que importan son las relaciones entre las mismas. 

Por ejemplo un partido de futbol incluye precio de las entradas y cantidades de entradas. Sabemos que estas categorías se relacionan habitualmente tal que un aumento en el precio de las entradas disminuirá la cantidad de entradas vendidas y viceversa. Si quisiésemos generalizar un poco más diríamos que cuando sube el precio de un bien cae la cantidad demandada del mismo. Y para ser más claros podríamos decir que un aumento de p₁ reduce q₁ y viceversa.

Esto también lo podríamos matematizar graficando con lo cual lo veríamos y ello aumentaría nuestra comprensión. 

Lamentablemente en cuestiones económicas las relaciones no son tan simples con lo que necesitamos trabajar con muchas variables interrelacionadas. Estas relaciones formarán ecuaciones y con las propiedades matemáticas y la lógica se llega a interesantes conclusiones.   Entonces Matemática ¿Estas ahí? Sí… por suerte

¿Cuáles son las herramientas matemáticas que utilizamos habitualmente en microeconomía? 

Como frecuentemente establecemos relaciones entre variables, en general nos preguntamos qué pasa con una de ella llamémosla “Y” cuando se altera otra llamémosla “X”. Nos interesa tanto la relación cualitativa (si sube o baja) como cuantitativa (cuánto sube o baja) por ello estudiamos la derivada. Veamos más en detalle        

Derivadas

La derivada es la pendiente de la recta tangente a la función en un punto. 

Por definición la derivada de una función y=f(x) es el límite de la tasa de variación de y cuando la variación de x tiende a cero:

Cuando una función depende de una sola variable, f(x), su derivada respecto de esa variable, x,  se denomina derivada

total.

Cuando una función depende de más de una variable, f(x, y), su derivada respecto a una de las variables, x, se denomina derivada parcial: 

Las derivadas nos indican cómo es el comportamiento de una función. Las funciones económicas buscan explicar la conducta de los agentes. Utilizamos las derivadas para entender dicha conducta, especialmente en los casos de agentes optimizadores.

Adicionalmente los gráficos muchas veces tienen distintos comportamientos por lo que nos pueden interesar las formas de los mismos o de figuras. Para ello necesitamos describir estas características. 

 

Concavidad y convexidad

Una figura es convexa si para cualquier par de puntos perteneciente a la misma el segmento que los une pertenece también a la figura. 

 

Una figura es cóncava si no es convexa.

La concavidad y la convexidad nos indican las características de una figura. En economía  utilizamos esta información para caracterizar las preferencias de los agentes.

Al trabajar constantemente con deducciones y causalidades entre variables necesitamos nociones elementales entre proposiciones para razonar adecuadamente. Repasemos 

 

Condiciones Necesarias, condiciones suficientes y condiciones necesarias y suficientes

Este tipo de condiciones establecen que relación existe entre dos proposiciones (A y B).

Si A es condición necesaria para B, eso implica que para que ocurra B debe ocurrir A, o lo que es lo mismo, si B es verdadero entonces A también lo es. La relación lógica se expresa como B à A (Si B entonces A o B solo si A). Ejemplo: Tomar agua regularmente es necesario para mantenernos vivos. Si A es condición suficiente para B, entonces siempre que ocurra A ocurrirá B porque A no puede ocurrir sin B. La relación lógica se expresa como A à B (Si A entonces B o A solo si B). Ejemplo: Saltar es suficiente para despegarse del piso.

Una condición es necesaria y suficiente cuando ambas condiciones se cumplen en simultáneo. La relación lógica se expresa como A ó B (A si y solo si B o A es condición necesaria y suficiente para  B). Ejemplo: Terminar el secundario es una condición necesaria y suficiente para ser admitido en la universidad.

Los modelos económicos son aproximaciones de la realidad basados en supuestos.  Es esencial que sepamos distinguir cuándo un supuesto en nuestro modelo es condición necesaria, condición suficiente o condición necesaria y suficiente, para poder determinar qué ocurrirá con las conclusiones de nuestro modelo si el supuesto no se cumple. 

Otra herramienta de la que nos valemos y mucho es la del estudio de los extremos de las funciones.  ¿Por qué? En microeconomía estudiamos las decisiones individuales de los agentes que clasificamos en consumidores y productores o demandantes y oferentes. Para ello y atento a que ambos destinan esfuerzo económico o físico (un consumidor paga $5 por una manzana o un productor alquila una fábrica por $2000)  asumimos que son racionales y por lo tanto actúan de modo óptimo: esto es eligen dentro de sus posibilidades las opciones más convenientes. Estás pueden tener la forma de elegir una variable que permita alcanzar el valor máximo o el valor mínimo. Por ejemplo un consumidor elegirá una canasta de bienes tal que su satisfacción sea máxima y un productor elegirá una cantidad de producción que minimice sus costos. 

En suma los agentes económicos toman decisiones persiguiendo objetivos óptimos o matemáticamente optimizan funciones. Podemos decir en general que eligen valores de X de modo tal que Y sea óptimo (máximo o mínimo) Más en detalle   

Extremos relativos de una función

Si la función es derivable en a, a es un extremo relativo si:

         f’(a)=0                        y                      f’’(a)≠0

Como vimos los modelos que describen fenómenos económicos se valen de relaciones donde intervienen muchas variables. Las relaciones entre variables se representan con ecuaciones y numerosas conclusiones surgen de relaciones entre ecuaciones Por ejemplo para describir la conducta de los compradores se utiliza la función de demanda y para describir la conducta de los productores la función de oferta.  Luego si quiero describir el equilibrio en el mercado o sea donde los demandantes y oferentes realizan sus transacciones debo resolver un sistema de ecuaciones con la oferta y la demanda. 

Sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones se caracteriza por tener varias ecuaciones y varias incógnitas. El sistema puede ser compatible o incompatible dependiendo de la existencia o inexistencia de la solución. 

Si la solución existe diremos que el sistema es compatible. En caso de que la solución sea única el sistema será compatible determinado, mientras que si el sistema admite un conjunto infinito de soluciones se lo denomina sistema compatible indeterminado.

Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales: 

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita para sustituirla en otra ecuación por su valor. Ejemplo:

x + y = 5                      à y = 5 – x   à 3x – (5-x) = 11 à 4x = 16 à x = 4

3x – y = 11                                                                                                    y = 5 – 4 à   y = 1

El método de igualación consiste en que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí. Ejemplo:

x + y = 5                à y = 5 – x                       

3x – y = 11            à y = 3x – 11                               

5 – x = 3x – 11

à 16 = 4x à    4 = x

y = 5 – 4 à   y =1

El método de reducción o cancelación consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple. Ejemplo:

x + y = 5  à -3*(x + y =5)   à -3x – 3y = -15    3x – y = 11     à + 3x –  y  =   11   

                                                                                    - 4y = -4  à    y = 1  à x + 1 = 5 à  x = 4

Los modelos económicos se caracterizan por contar con sistemas de ecuaciones que expresan comportamientos. Resolviendo los sistemas de ecuaciones podremos encontrar el equilibrio del sistema, si es que existe un equilibrio. Un ejemplo de este tipo de modelos es el caso del modelo de oferta y demanda, donde la oferta expresa lo que los oferentes estarían dispuestos a aceptar por el bien, mientras que la demanda expresa lo que los demandantes estarían dispuestos a pagar por el mismo bien. El precio de equilibrio será aquel que resuelva el sistema.